EVENTO
MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS PARA PROBLEMAS DE DIFUSÃO E REAÇÃO NÃO LINEARES
Tipo de evento: Exame de Qualificação
Este trabalho tem como principal objetivo o desenvolvimento de métodos numéricos para resolução de equações diferenciais parciais, em especial as equações parabólicas de reação e difusão, visando maior e ciência numérica, taxas ótimas de convergência e baixo custo computacional.São utilizados métodos de diferenças finitas, em particular o método implícito de direções alternadas (ADI) [4, 6] associado a outros métodos numéricos como Crank-Nicolson, Euler (implícito e explícito) e de predição correção. O método implícito de direções alternadas (ADI) e amplamente adotado devido ao fato de preservar taxas ótimas de convergência com reduzido custo computacional, por serem incondicionalmente estáveis e gerar sistemas lineares cujas matrizes são tri-diagonal que são sistemas de baixo custo de resolução.Foram desenvolvidos e implementados novos métodos de diferenças finitas para problemas governados por equações de difusão e reação não lineares que modelam fenômenos físicos, químicos e biológicos de grande interesse tais como: formação de padrões em reações químicas [8, 10], tecidos biológicos [11, 8, 9], modelos cardíacos [5, 7] entre outros [2, 1, 3].Dois tipos de experimentos numéricos têm sido feitos ao decorrer do trabalho.O primeiro consistem em avaliar modelos matemáticos com solução conhecida afim de se efetuar estudo de convergência (cálculo de erros mas normas do máximo e norma-2; e determinação de taxas de convergência). Os experimentos seguintes tratam de modelos de reação e difusão sem solução exata conhecida. Neste último caso as soluções obtidas têm sido representadas na forma de gráficos e mapas de cores e comparadas a soluções obtidas por outros autores, normalmente aplicando elementos finitos.O método de Decomposição de Operador tem sido utilizado com êxito na solução das equações de reação e difusão obtendo taxas de convergência de primeira ordem.O método proposto, denominado de Linearização Associado ao Método ADI, tem sido empregado nos mesmos modelos, com taxas de convergência de segunda ordem e menor custo computacional.BIBLIOGRAFIA: [1] José Lindomberg Possiano Barreiro et al. Existência e multiplicidade de soluções para uma classe de problemas quase lineares envolvendo expoentesvariáveis. 2014.[2] Johannes Martinus Burgers. A mathematical model illustrating the theory of turbulence. In Advances in applied mechanics, volume 1, pages 171{199. Elsevier, 1948.[3] MR Corrêa, AFD Loula, and ELM Garcia. Métodos de diferenças finitas de direções alternadas implícitos para modelagem de águas subterrâneas. Trends in Applied and Computational Mathematics, 5(1):65{76, 2004.[4] Jr. D. W. Peaceman e H. H. Rachford. The numerical solution of parabolic and elliptic diferential equations. pages 28{41, 1955.[5] Richard FitzHugh. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical journal, 1(6):445{466, 1961.[6] Jr. Jim Douglas. Alternating direction methods for three space variables. 4:41{63,1962.[7] Jinichi Nagumo, Suguru Arimoto, and Shuji Yoshizawa. An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proceedings of the IRE, 50(10):2061{2070, 1962.[8] J Schnakenberg. Simple chemical reaction systems with limit cycle behaviour. Journal of theoretical biology, 81(3):389{400, 1979.[9] Lee A. Segel. J. d. murray: Mathematical biology (3rd ed), volume i (an introduction) and volume ii (spatial models and biomedical applications).Mathematical Medicine and Biology: A Journal of the IMA, 20(4):377{378, 2003.[10] Alan Mathison Turing. The chemical basis of morphogenesis. Philo-sophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences, 237(641):37{72, 1952.[11] Jianfeng Zhu, Yong-Tao Zhang, Stuart A Newman, and Mark Alber.Application of discontinuous galerkin methods for reaction-di_usion systemsin developmental biology. Journal of Scienti_c Computing, 40(1-3):391{418, 2009.3
Data Início: 06/11/2018 Hora: 14:00 Data Fim: 06/11/2018 Hora: 17:00
Local: LNCC - Laboratório Nacional de Computação Ciêntifica - Auditorio A
Aluno: Ricardo Reis Pereira - - LNCC
Co-Orientador: Bernardo Martins Rocha - Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF José Karam Filho - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
Orientador: Abimael Fernando Dourado Loula - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
Participante Banca Examinadora: Eduardo D. G. do Carmo - - UFRJ Maurício Vieira Kritz - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Renato Simões Silva - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Rodrigo Weber dos Santos - Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Suplente Banca Examinadora: Sandra Mara Cardoso Malta - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
